Вариант 3

№1        Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а)  (A\B) ∪ (A\C) = A \ (B∩C)                б)  A×(B\C)=(A×B)\(A×C).

№2        Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A×B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1.  Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(a,2),(a,4),(c,3),(c,2),(c,4)};   P2 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,3)}.

№3        Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P ⊆ R2, P = {(x,y) | y = |x|}.

№4        Доказать утверждение методом математической индукции:   для n ≥ 2.

№5        Шестеро сотрудников фирмы направляются на изучение иностранного языка, причем нужно распределить их для изучения английского, немецкого и французского языков (каждый изучает только один язык). Сколько существует различных способов такого распределения? Сколькими способами они могут устроиться заниматься в двух совершенно одинаковых комнатах библиотеки (не менее одного в комнате)?

№6        Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) не делящихся ни на одно из чисел 4, 7, 18?  б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

№7        Найти коэффициенты при  a=x2·y·z6, b=x4·y·z, c=y2·z8  в разложении (3·x+5·y+2·z2)6.

№8        Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 4·an+2 + 9·an+1 + 5·an = 0· и начальным условиям   a1=1, a2=4.

№10        Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;        
б) кратчайшее расстояние от вершины v3 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.