Вариант 24

№1        Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а)  A∪B = (AΔB)∪(A∩B)        
       б)  (A×B)∩(C×B)∩(C×D) = (A∩C)×(B∩D).

№2        Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A×B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1.  Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,3),(b,2),(b,1),(b,4),(c,1),(c,2),(c,4)}; P2 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(3,2),(3,4),(4,4)}.

№3        Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P ⊆ (Z+)2, P = {(x,y) | (x + 2·y) кратно 3}.

№4        Доказать утверждение методом математической индукции.

№5        Бригада из восьми взломщиков одновременно выходит на грабеж двух разных магазинов. Сколькими способами они могут разделиться? Сколькими способами их после задержания могут рассадить по трем одинаковым камерам (не менее чем по одному в каждую)?

№6        Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) делящихся на числа 8, 28 или 36?  б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

№7        Найти коэффициенты при  a=x·y6·z6, b=x4·y·z, c=x2·y8  в разложении (5·x+2·y2+3·z3)6.

№8        Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 3·an+2 – 9·an+1 – 30·an = 0· и начальным условиям   a1= –1, a2=9.

№10        Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;        
б) кратчайшее расстояние от вершины v2 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.