Вариант 20

№1        Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а)  A\((A∩B)∪(A∩C)) = (A\B)\C                б)  (A×B)∩(C×B) = (A∩C)×B.

№2        Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A×B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1.  Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,2),(a,4),(a,3),(c,1),(c,2),(c,3)}; P2 = {(1,1),(1,4),(2,3),(3,3),(4,1),(4,3),(4,4)}.

№3        Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P ⊆ Z2, P = {(x,y) | y ≥ x – 2}.

№4        Доказать утверждение методом математической индукции: 13 + 23 + 33 + … + n3 = n2·(n+1)2/4.

№5        Бригада из восьми взломщиков одновременно выходит на грабеж трех разных магазинов. Сколькими способами они могут разделиться, если в каждой группе должно быть не менее 2 человек? Сколькими способами их после задержания могут рассадить по четырем одинаковым камерам (не менее чем по одному в каждую)?

№6        Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) делящихся на числа 9, 21 или 30?  б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

№7        Найти коэффициенты при  a=x2·y6·z2, b=x4·y·z, c=x4·y8  в разложении (5·x2+2·y2+3·z)6.

№8        Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению an+2 – 3·an+1 – 28·an = 0· и начальным условиям   a1=15, a2=17.

№10        Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;        
б) кратчайшее расстояние от вершины v2 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.