Вариант 15

№1        Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а)  (A\B) \ C = (A\C) \ B                б)  (A\B)×C=((A∪B)×C)\(B×C).

№2        Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A×B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1.  Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(a,2),(b,3),(b,4),(c,3),(c,4)};   P2 = {(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,3)}.

№3        Задано бинарное отношение P ⊆ Z2; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P = {(x,y) | (x + y) нечетно}.

№4        Доказать утверждение методом математической индукции:

№5        Бригада из одиннадцати взломщиков одновременно выходит на грабеж четырех разных магазинов. Сколькими способами они могут разделиться, если в каждой группе должно быть не менее двух человек? Сколькими способами их после задержания могут рассадить по трем одинаковым камерам (не менее чем по одному в каждую)?

№6        Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) не делящихся ни на одно из чисел 9, 10, 12?  б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

№7        Найти коэффициенты при  a=x2·y2·z3, b=x2·y3·z, c=y4·z4  в разложении (3·x+5·y2+2·z)6.

№8        Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 2·an+2 + 9·an+1 + 7·an = 0· и начальным условиям   a1=5, a2=30.

№10        Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;        
б) кратчайшее расстояние от вершины v1 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.