Вариант 8

№1        Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. а)          б)  C⊆D ⇒ A×C ⊆ B×D.

№2        Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 ⊆ A×B, P2 ⊆ B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1.  Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,1),(b,3),(c,1),(c,4),(c,3),(c,2)}; P2 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(4,1)}.

№3        Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P ⊆ R2, P = {(x,y) | y < x – 1}.

№4        Доказать утверждение методом математической индукции: 12 + 22 + 32 + … + n2 = n·(n+1)(2·n+1)/6.

№5        Семеро сотрудников фирмы направляются на изучение иностранного языка, причем нужно распределить их для изучения английского, немецкого и французского языков (каждый изучает только один язык). Сколько существует различных способов такого распределения? Сколькими способами они могут устроиться заниматься в двух совершенно одинаковых комнатах библиотеки (не менее одного в комнате)?

№6        Сколько существует положительных трехзначных чисел: а) делящихся на числа 5, 18 или 21?  б) делящихся ровно на одно из этих трех чисел?

№7        Найти коэффициенты при  a=x2·y3·z2, b=x·y·z4, c=x4·y4  в разложении (5·x2+2·y+3·z)6.

№8        Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению 2·an+2 – 10·an+1 + 12·an = 0· и начальным условиям   a1=3, a2=27.

№10        Взвешенный граф задан матрицей длин дуг. Нарисовать граф. Найти: а) остовное дерево минимального веса;        
б) кратчайшее расстояние от вершины v4 до остальных вершин графа, используя алгоритм Дейкстры.